内トロコイド考察 - 足跡45(ashiato45)の日記(旧ブログ)

ウソが書いてあります。そのうち書き直します。
お久です。足跡45です。にょろーん。
さて、最近内トロコイドっていう数学トピックがマイブームなので
それについて分かったことを最近習った三角関数を使ってやってくよー。
ただ、まじめに数学的に書くつもりはないという。なぜなら書式よく分からん。
論理＜感覚になる可能性があるのであらかじめ謝っとく。
あと、まちがってたらごめん。

そもそも内トロコイドって何ぞ

google:スピログラフ
スピログラフっていうおもちゃ（もちろん子供の）がありまして、
1970年代に日本でおにゃのこに流行ったらしく、80年代には消失したらしいです。
惜しいものをなくした。で、そいつの中には歯車型の板が入っておりまして、
そいつらを組み合わせてペンを挿して動かすことで誰でも簡単に神秘的幾何学模様が
描けるという代物なのです。たまに100均で見かけるらしい。あとインド。
私が博品館に行って調べたところありませんでした。無念。
で、実はその幾何学模様は内トロコイドといいます。というそれだけ。
数学的性質はwikiみて。
wikipedia:トロコイド

内トロコイドの基本

$\{x=(r_c-r_m)\cos(\theta)+r_d\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta),\\y=(r_c-r_m)\sin(\theta)-r_d\sin(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta),$
正直必要なのはこの2本に尽きる。

何周（角度）で終わるか

このグラフを $\theta$ を変えながら描くといいかんじになるが、
回転角が0からスタートしていくつになったら描き終わるのかが分からない。
というわけで計算した。生まれて初めて最大公約数すげーとおもった。

問題は
$x(\theta)=(r_c-r_m)\cos(\theta)+r_d\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta)$
っていう関数があったとき、
$x(0)=x(a)$ になる最も小さい正の数aは何？ってはなしだと思う。
で、そしたら
$\cos(0)=\cos(a)\\{}\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}\cdot0)=\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}a)$
を同時に満たせばいい。
で、主にここからが荒業で、
$\cos(\theta)$ の周期が $2\pi$ で、 $\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta)$ の周期が $\frac{r_m}{r_c-r_m}\cdot2\pi$ だから、
条件を満たすときは
$(\cos(\theta)$ の周回数 $:$ $(\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta)$ の周回数 $)=$ $(r_c-r_m):r_m$ だろうと。
で、この関数の基本周期は
$2\pi\cdot\frac{r_m}{\gcd(r_c-r_m, r_m)}$
だろうと。

9/30修正。したけど何を考えてたんだか分からん

というわけで、
$2\pi\cdot\frac{r_m}{\gcd(r_c-r_m, r_m)}[rad]$
変化すると書き終わりですよと。
なんという適当さ。っていうか高校1年にもなってこれはねーよ。

半径

次に、そのうちトロコイドのグラフはどのくらいの大きさの円に収まるのかと。
内接といっていいのか悪いのか。
$\{x=(r_c-r_m)\cos(\theta)+r_d\cos(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta),\\y=(r_c-r_m)\sin(\theta)-r_d\sin(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta),$
があるので、こいつを変形して $\theta$ のときの中心からの距離を吐く関数を定義。
$l(\theta)=\sqrt{r_d^2+2(r_c-r_m)\cdot{}r_d\cdot\cos((1+\frac{r_c-r_m}{r_m})\theta)+(r_c-r_m)^2}$
というあたりでよく分からなくなった。
結果的にはうまくいってるんだけどなぁ。